Đối với trường hợp của bạn, xin được trả lời  như sau:

1. Bố cháu bé là người nước ngoài do vậy theo quy định tại Điều 49 Nghị định 158/2005/NĐ-CP về đăng ký và quản lý hộ tịch thì thuộc trường hợp khai sinh có yếu tố nước ngoài do đó cơ quan có thẩm quyền đăng ký khai sinh cho cháu bé chính là Sở Tư pháp.

2. Về trình tự thủ tục đăng ký khai sinh cho cháu bé tại Điều 50 của Nghị định 158/2005/NĐ-CP quy định như sau:

1. Người đi đăng ký khai sinh nộp Giấy chứng sinh hoặc giấy tờ thay Giấy chứng sinh theo quy định tại khoản 1 Điều 15 của Nghị định này và xuất trình Giấy chứng nhận kết hôn của cha, mẹ trẻ em (nếu cha, mẹ trẻ em có đăng ký kết hôn).

Trong trường hợp cha, mẹ chọn quốc tịch nước ngoài cho con, thì phải có giấy thỏa thuận của cha và mẹ về việc chọn quốc tịch. Giấy thoả thuận về việc chọn quốc tịch phải có xác nhận của cơ quan nhà nước có thẩm quyền của nước mà người nước ngoài là công dân về việc chọn quốc tịch cho con là phù hợp với pháp luật của nước đó.

2. Sau khi nhận đủ giấy tờ hợp lệ, cán bộ hộ tịch của Sở Tư pháp ghi vào Sổ đăng ký khai sinh và bản chính Giấy khai sinh, Giám đốc Sở Tư pháp ký và cấp một bản chính Giấy khai sinh cho người đi khai sinh. Bản sao Giấy khai sinh được cấp theo yêu cầu của người đi khai sinh.

3. Trong trường hợp khai sinh cho con ngoài giá thú, nếu không xác định được người cha, thì phần ghi về người cha trong Sổ đăng ký khai sinh và Giấy khai sinh để trống. Nếu vào thời điểm đăng ký khai sinh có người nhận con, thì Sở Tư pháp kết hợp giải quyết việc nhận con và đăng ký khai sinh.

4. Tên của trẻ em là tên Việt Nam hoặc tên nước ngoài theo sự lựa chọn của cha mẹ.